程式人雜誌 -- 2013 年 7 月號 (開放公益出版品)

以程式人的想法為「油價公式」除錯

引言

近來、每當中油油價要調漲時，很多新聞都會報導或批評，例如我們常常會聽到以下說法：

「甚麼都漲、就是薪水不漲」

等等的抱怨。

但是、您瞭解中油油價調漲的基準與方式是甚麼嗎？其中是否藏有某些您不知道的秘密呢？

在本文中，我們將透過「程式人的專業角度」，為您解讀油價公式內所隱藏的秘密！

但是在此之前，先讓我們介紹一下這個祕密背後所需要的「數學背景」。

遞歸關係

在「資訊類科系」(Computer Science) 的課程當中，「離散數學」(Discrete Mathematics) 是一們重要的數學課， 其中有個「遞歸關係式」 (Recurrence Equation) 的數學函數，可以用來計算程式 (或演算法) 的執行效能， 但是在本文中，我們將改用「遞歸關係」來為「中油的油價公式」進行除錯，證明「中油的油價公式會造成幾何暴漲」。

首先讓我們來看看甚麼是「遞歸關係」，先從一個比較簡單的例子開始：

問題 1. 假如有隻母雞，從成年開始他每天下一個蛋，那麼在成年後第 n 天他總共下了幾個蛋呢？

解答：關於這個問題，答案非常簡單，很多人一看就知道是 n 個蛋了。

但是讓我們姑且用遞歸關係來寫出這個問題的數學式：

T(n) = T(n-1) + 1   
T(1) = 1

為了求解這樣的算式，我們可以將 n 代入 1, 2, 3, ....，然後列表如下：

T(1) = 1
T(2) = T(1) + 1
T(3) = T(2) + 1
T(4) = T(3) + 1
.....
T(n) = T(n-1) + 1

於是、您可以透過由上而下的計算方式，算出這個「遞歸關係」的解答，如下所示：

T(2) = T(1) + 1 = 1 + 1 = 2
T(3) = T(2) + 1 = 2 + 1 = 3
T(4) = T(3) + 1 = 3 + 1 = 4
....

很直覺的，您應該會猜測 T(n) 的解答就是 n，這個猜測是沒錯的！

上述遞歸關係的解答 T(n) 是個線性函數，也就是國中課程當中所說的「算術級數」。

接著、讓我們再來看看一種會造成「幾何級數」的遞歸關係，同樣的，讓我們先看看下列問題：

問題 2. 假如培養皿中有隻細菌、該細菌每分鐘分裂一次，請問在第 n 分鐘的時候，共有幾隻細菌？

解答：我們可以將這個問題寫成以下的遞歸關係：

T(n) = 2 * T(n-1)  
T(0) = 1

於是我們可以列出前幾項的結果如下：

T(0) = 1
T(1) = 2*T(0) = 2 * 1 = 2
T(2) = 2*T(1) = 2 * 2 = 4
T(3) = 2*T(2) = 2 * 4 = 8
....

如果您觀察一下上述列表，可能會猜測 ，這個猜測也是對的，這類的函數稱為幾何級數。

著名的社會學家「馬爾薩斯」就在其名著「人口論」當中，提出了一個「廣為人知」的論點，其推論如下：

糧食的增長函數是算術級數，而人口的增長函數是幾何幾數，幾何級數後期的增長會遠超過算術級數， 因此糧食最後必然會不足，於是「饑荒、戰爭與大規模的疾病」將會是不可避免的結果。

另外、電腦在表示數字的時候，由於採用固定位元數的方式，因此都會有一些誤差，特別是像 這類的 無理數，更是無法用電腦精確表示，這些誤差如果經過某些遞歸關係放大之後，很可能會造成「差之毫釐、 失之千里」的結果。這類誤差放大的研究，甚至導致了學術上「混沌理論」的重要進展！

中油的油價調漲公式

那麼、這些結果與中油的油價公式有何關係呢？讓我們來看看中油的油價，是如何調整的，在中油的 國內汽、柴油浮動油價調整機制作業原則 這份 PDF 文件當中，有一段令人難以解讀的中文如下：

由於這段話實在令人難懂，所以讓我們稍為進行一下數學定義，以數學的方式解讀這段「自然語言」，解讀前首先讓我們定義幾個變數：

以上的的國際均價 C 即為第一項所稱之調價指標。根據上述定義，則調價幅度的數學式解讀如下：

(P-P')/P' = (C -C')/C' * 0.8

也就是

調價幅度 = (本期價格 P - 上期價格 P')/上期價格 P' = (當期調價指標 C - 前期調價指標 C')/前期調價指標 C' * 80%

將上述數學式移項調整一下，可得下列數學式：

P = P' + P' * (C-C')/C' * 0.8

假如那段「令人難以解讀的中文」之數學式真的如以上所解讀的，那麼我們就可以透過電腦計算油價，並且可以進行模擬。

以程式模擬漲跌過程

於是我寫了一個簡單的 C 語言程式以變模擬整個油價的調整過程，在程式中我們讓油價以正弦函數 2 + sin(i) 的方式震盪， 這個正弦函數是一個必然介於 1 到 3 之間的函數。但是、模擬的結果肯定會讓人嚇一大跳：

#include <stdio.h>
#include <math.h>

double gen(int n) {
    double p=1.0, p1=1.0, c=1.0, c1=1.0;
    int t;
    for (t=1; t<=n; t++) {
        c = 2.0+sin(t);
        p = ((c-c1)/c1)*0.8*p1 + p1;
        printf("t=%d : c=%6.2f p=%6.2f\n", t, c, p);
        c1 = c;
        p1 = p;
    }
}

int main() {
    gen(1000);
}

雖然在模擬過程當中，國際油價始終在 1 元到 3 元之間震盪，但是經過了很多期之後，整個國內油價還是暴漲， 從最初 2.47 元 (比國際油價 2.84 元還低)，到 500 期時上漲到 397.04 元 (此時國際油價為 1.53 元)，然後 到了 1000 期時更暴漲到 174551.80 元 (十七萬四千多元，此時國際油價為 2.83 元)。

執行方法與指令

D:\Dropbox\Public\pmag\201307\code>gcc oil.c -o oil

D:\Dropbox\Public\pmag\201307\code>oil > oil.lst

執行結果摘錄

t=1 : c=  2.84 p=  2.47
t=2 : c=  2.91 p=  2.52
t=3 : c=  2.14 p=  1.99
t=4 : c=  1.24 p=  1.32
t=5 : c=  1.04 p=  1.15
t=6 : c=  1.72 p=  1.75
t=7 : c=  2.66 p=  2.51
t=8 : c=  2.99 p=  2.76
t=9 : c=  2.41 p=  2.34
t=10 : c=  1.46 p=  1.59
...
t=500 : c=  1.53 p=397.04
t=501 : c=  1.00 p=287.44
t=502 : c=  1.39 p=376.22
t=503 : c=  2.34 p=581.21
t=504 : c=  2.97 p=707.73
t=505 : c=  2.71 p=658.28
t=506 : c=  1.80 p=480.40
t=507 : c=  1.07 p=324.10
t=508 : c=  1.19 p=354.96
t=509 : c=  2.06 p=561.54
t=510 : c=  2.87 p=738.31
...
t=990 : c=  1.61 p=98834.43
t=991 : c=  1.01 p=69539.87
t=992 : c=  1.32 p=86448.98
t=993 : c=  2.25 p=135085.66
t=994 : c=  2.95 p=168513.04
t=995 : c=  2.77 p=160415.99
t=996 : c=  1.89 p=119299.47
t=997 : c=  1.10 p=79653.27
t=998 : c=  1.14 p=82110.42
t=999 : c=  1.97 p=129690.29
t=1000 : c=  2.83 p=174551.80

油價公式的問題

這個模擬過程告訴我們，中油的油價調整公式的設計，會有某種誤差放大效果，而且這種放大效果 並非上下一致的，而是向上放大的情況較嚴重，這與達爾文進化論中的「適者生存、而且會產生更多後代」 有點類似，都是一種隨機性的幾何上漲的過程，因此才會造成後期的暴漲。

這個現象並非我所發現的，而是我在 MR. OTTER 在「歐特先生本性難移」網誌的 中油油價公式，創造永遠跌不回去的油價 一文中所看到的， 我只是將該文用程式人的方式重新解讀一遍而已！

透過這個油價的範例，相信您應該可以看到「遞歸運算式」千變萬化的一面，在設計制度時也會更小心一些， 以免不小心落入幾何暴漲的陷阱，造成毀滅性的災難啊！

疑問與解決辦法

在上述的油價調整公式之設計中，調價幅度以 80% 計算，似乎是為了讓油價不要太快上漲或下跌，以免衝擊太大，但事實上這個方式反而是 造成油價暴漲的元凶，如果將調價幅度改以 100% 計算，反而不容易有暴漲的問題。

為甚麼呢？讓我們舉一個簡單的例子，假設有某次波動，漲跌各一次，先漲了 100% 再跌了 50%，這時價格應該是 200% * 50% = 2 * 0.5 = 1， 也就是價格會回到原點，但是如果我們將調價幅度以 80% 計算，那麼就會變成 1.8 * 0.6 = 1.08，並沒有回到原價，而是漲了 8%，所以 這個看來是好意的 80% 調價幅度，其實隱藏了爆漲的種子，一但經過很多輪的漲跌之後，就可能造成國際價格不變，但國內價格卻漲翻天的情況。

不過如果國際油價是一路慢慢上漲或下跌，而沒有震盪情況的話，那麼中油油價只會一路慢慢跟隨，而不會有漲翻天的情況！

但是、這個公式每週都至少用一次，那從開始實施浮動油價之後，應該也有幾百次的調整了，那麼為何一直沒有發現暴漲現象呢？ 這個問題根據我的猜測，很可能是因為 國內汽、柴油浮動油價調整機制作業原則 這份 PDF 文件的後半部，還有一條重要的規定如下：

由於被這個第七條壓住了，所以油價並沒有暴漲，但是這樣的做法顯然很沒道理，先設計一個有問題會暴漲的公式，然後再 用一個額外的規定壓住它，這真的是非常奇怪不合理的想法！

事實上，採用「遞歸數學式」有時很難控制得很好，如果真的要只是要緩和上漲與下跌的幅度，那不如採用「移動平均線」的方式，例如根據 前 5 期國際油價平均值，加上一定比例的利潤率 (例如 5%) 做為油價，就不會有這種幾何暴漲的現象了。

如果用數學表示這種鎖定國際油價移動平均線的方法，可以用下列「沒有遞歸」的數學式表示：

P(t) = 1.05 * [C(t-1)+C(t-2)+C(t-3)+C(t-4)+C(t-5)] / 5

由於上述算式的右端沒有 P(t-1) 之類的函數存在，而且 C(t-i) 的計算也與國內油價 P(t) 無關，如此就不會因為「回饋效應」而造成幾何暴漲了！

當然，假如我們對上述 國內汽、柴油浮動油價調整機制作業原則 的「中文」理解錯誤的話，那本文的推論就可能是錯誤的。因此我們希望中油 與相關單位能夠澄清一下，最好能將該文的「遞歸數學式」寫出來，讓大家都能看得更清楚明白啊！

參考文獻